فیزیک بانجی جامپینگ جزو جالب‌ترین موضوعات مرتبط با فیزیک است. بانجی جامپر از روی یک سازه بلند مانند پل یا جرثقیل می‌پرد. سپس به صورت عمودی به سمت پایین سقوط می‌کند. تا زمانی که طناب کشسانی بانجی سرعت فرود او را کاهش دهد. سپس او را به سمت بالا بکشد. در این زمان جامپر به سمت بالا و پایین نوسان می‌کند تا زمانی که تمام انرژی ذخیره شده در طناب بانجی از بین برود.
نکته مهیج در فیزیک بانجی جامپینگ این است که جامپر شتابی رو به پایین را تجربه می‌کند که بیشتر از شتاب سقوط آزاد و ناشی از گرانش است. این شتاب در لحظه اولیه سقوط در حالی که طناب بانجی شل است (یعنی کشیده نشده) رخ می‌دهد. در ادامه، آنچه که از نظر فیزیکی روی می‌دهد را بررسی می‌کنیم.
فیزیک بانجی جامپینگ – شتاب سقوط آزاد بیشتر از g
در طرح زیر یک نمایش ساده از فیزیک بانجی جامپینگ ، بانجی جامپر و طناب بانجی را در موقعیت اولیه قبل از پرش می‌بینید. جامپر به عنوان یک جسم نقطه‌ای به جرم M نشان داده میشود. طناب بانجی با دو طناب، هر یک با طول L/2، با یک خم در پایین به شعاع R نشان داده میشود.
سمت چپ طناب بانجی به یک بست فیکس متصل است. جرم طناب بانجی m است. شتاب ناشی از گرانش g (برابر با 9.8 m/s2 در زمین) است. مسیر بالا با مثبت و پایین با منفی نشان داده شده است.
در طرح زیر نمایی از بانجی جامپر و طناب بانجی پس از پرش او را می‌بینید که با پوزیشن (2) مشخص شده است. موقعیت جامپر و طناب به عنوان تابعی از y تنظیم شده که موقعیت جامپر M نسبت به مبدا (به عنوان موقعیت عمودی جامپر) است.
طول بخش‌های مستقیم طناب به عنوان تابعی از y در نظر گرفته شده و بر اساس هندسه است. سرعت عمودی جامپر با v و شتاب عمودی با a نشان داده شده است. از نظر هندسی، سرعت عمودی در انتهای منحنی v/2 و شتاب عمودی در انتهای آن a/2 است.
اصطکاک و مقاومت هوا در این مسئله نادیده گرفته می‌شوند (در فیزیک بانجی جامپینگ ممکن است متفاوت باشد). از این رو فیزیک رخ داده بین موقعیت‌های (1) و (2) را می‌توان با استفاده از قانون پایستگی انرژی تحلیل کرد که در آن انرژی از بانجی جامپر و طناب بانجی تشکیل شده است.
این موضوع به ما این امکان را می‌دهد تا سرعت v جامپر را به عنوان تابعی از y تعیین کنیم. از آنجایی که اصطکاک و مقاومت هوا نادیده گرفته شده‌اند، تنها نیرویی که بر روی این سیستم اثر می‌گذارد، جاذبه است.
معادله پایستگی انرژی به صورت زیر خواهد بود:
در این معادله:
- T1 انرژی جنبشی بانجی جامپر و طناب بانجی در موقعیت (1) است.
- V1 انرژی پتانسیل گرانشی بانجی جامپر و طناب بانجی در موقعیت (1) است.
- T2 انرژی جنبشی بانجی جامپر و طناب بانجی در موقعیت (2) است.
- V2 انرژی پتانسیل گرانشی بانجی جامپر و طناب بانجی در موقعیت (2) است.
نکته: از آنجایی که در پوزیشن یک حرکتی انجام نمی‌شود، T1 برابر با 0 در نظر گرفته میشود.
انرژی پتانسیل گرانشی در موقعیت (1) از وزن طناب بانجی (mg) ضرب در موقعیت عمودی مرکز جرم آن در نقطه مبدا به دست می‌آید. انرژی پتانسیل گرانشی بانجی جامپر M صفر است زیرا در نقطه مبدا قرار گرفته است.
در نظر بگیرید که این عدد منفی است. چرا که مرکز جرم طناب بانجی زیر نقطه‌مقطع قرار دارد. برای راحتی، چگالی طناب بانجی با ρ تنظیم شده که به عنوان جرم در واحد طول تعریف میشود.
انرژی جنبشی در موقعیت (2) برابر است با:
در این معادله، اولین عبارت انرژی جنبشی است که به بخش مستقیم طناب بانجی زیر جامپر (M) اشاره می‌کند. این بخش از طناب با سرعت v در حال حرکت است. دومین عبارت انرژی جنبشی جامپر M است که او نیز با سرعت v در حال حرکت است. انرژی پتانسیل گرانشی در موقعیت (2) برابر است با:
به خاطر داشته باشید که ما از جرم کم طناب بانجی در پایین خم چشم‌پوشی کرده‌ایم. بنابراین این جرم در انرژی جنبشی و پتانسیل ارائه شده در بالا نشان داده نمی‌شود. معادلات (2)-(5) را با معادله (1) جایگزین کرده و v از طریق معادله زیر به دست می‌آید:
این عبارت سرعت v بانجی جامپر را به موقعیت عمودی او y مرتبط می‌کند. به خاطر داشته باشید که y < 0 است.
مرحله بعدی اعمال ضربه و تکانه برای داشتن شتاب بانجی جامپر (a) است. برای این منظور، بخشی از فرایند با استفاده از حجم کنترلی جدا میشود.
در این حجم کنترلی طناب بانجی را می‌توان به صورت یک جریان رو به پایین در نظر گرفت. مولفه عمودی نیرو در این پوزیشن بسیار کم است که برای طناب‌ها و سازه‌های مشابه فرض خوبی است. از آنجایی که تنها نیروهای عمود بر a تاثیر می‌گذارند، نیازی به استفاده از کشش T نیست که زمان بسیاری را در بخش محاسبات ذخیره می‌کند.
نیروی عمودی که در این روند می‌تواند در نظر گرفته شود، جاذبه است که به راحتی می‌توان آن را در نظر گرفت. گام بعدی استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای تنظیم معادلات است. شکل زیر را در نظر بگیرید. دو مرحله (1) و (2) «وضعیت» زمان t و زمان t+dt نشان می‌دهند که dt یک گام زمانی بسیار کوچک است.
این معادله به صورت ریاضی و با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال و اصل تکانه و ضربه حل میشود:
در این معادله:
- mcv جرم ذرات داخل حجم کنترلی در مرحله (1) است.
- ΣFy مجموع نیروهای خارجی در جهت y است که بر تمام ذرات در حجم کنترلی اثر می‌گذارد.
- dmcv تغییر در جرم ذرات داخل حجم کنترلی، بین (1) و (2) است. توجه داشته باشید که dmcv کمتر از 0 است چرا که جرم ذرات داخل حجم کنترل در حال کاهش است.
- dmp جرم ذراتی است که به خارج از حجم کنترل جریان یافته‌اند.
- dv تغییر در سرعت عمودی ذرات داخل حجم کنترل، بین (1) و (2) است.
حال، جرم ذرات خارج شده از حجم کنترلی باید یک کمیت مثبت باشد. از این رو:
که یعنی:
معادله فوق را جایگزین معادله (7) می‌کنیم و فرمول زیر را خواهیم داشت:
حال:
این عبارت را جایگزین معادله قبل کرده و خواهیم داشت:
حال:
مجموع نیروهای خارجی در جهت y که بر ذرات حجم کنترلی اثر می‌کنند همان نیروی گرانش است که از فرمول زیر به دست آمده است:
معادلات (9)-(11) را با معادله (8) جایگزین می‌کنیم:
برای به دست آوردن a:
همانطور که می‌بینید، شتاب a بزرگتر از g است. توجه داشته باشید که این معادله فقط بین y = 0 و y = -L صادق است. برای بدست آوردن عبارت a بر حسب y معادله (6) را با معادله (13) جایگزین می‌کنیم:
در این معادله y < 0 است و برای راحتی، μ = m/M را در نظر می‌گیریم:
موقعیت y = -L نقطه‌ای است که شتاب a در آن به حداکثر می‌رسد. به عنوان مثال، اگر وزن طناب بانجی به اندازه جامپر بانجی باشد، حداکثر شتاب تقریبا 1.6 گرم است.
اگر a = d2y/dt2 را در معادله فوق جایگزین کنیم، یک معادله دیفرانسیل معمولی بدست می‌آوریم که می‌توانیم آن را به صورت عددی حل کنیم تا y را به عنوان تابعی از زمان تعیین کنیم. راه‌حل تابع شرایط اولیه در زمان t = 0 است. این شرایط اولیه عبارتند از: y = 0 و dy/dt = v = 0
حرف آخر در خصوص فیزیک بانجی جامپینگ
فیزیک بانجی جامپینگ پدیده بسیار جالبی است که با دقت بسیار زیادی محاسبات آن انجام میشود. نکته‌ای در این زمینه وجود دارد این است که طناب بانجی جامپینگ دارای خاصیت الاستیک است و جامپر پس از رسیدن به آخرین نقطه مقداری پایین‌تر می‌رود. سپس به سمت بالا باز می‌گردد و با معلق ماندن، تمام انرژی ذخیره شده تخلیه میشود. برای دریافت اطلاعات بیشتر مهندسی با تیم فناوران در ارتباط باشید.
